Mixing HOL and Coq in Dedukti (Extended Abstract)

We use Dedukti as a logical framework for interoperability. We use automated tools to translate different developments made in HOL and in Coq to Dedukti, and we combine them to prove new results. We illustrate our approach with a concrete example where we instantiate a sorting algorithm written in Coq with the natural numbers of HOL.Comment: In Proceedings PxTP 2015, arXiv:1507.0837

Checking Zenon Modulo Proofs in Dedukti

Dedukti has been proposed as a universal proof checker. It is a logical framework based on the lambda Pi calculus modulo that is used as a backend to verify proofs coming from theorem provers, especially those implementing some form of rewriting. We present a shallow embedding into Dedukti of proofs produced by Zenon Modulo, an extension of the tableau-based first-order theorem prover Zenon to deduction modulo and typing. Zenon Modulo is applied to the verification of programs in both academic and industrial projects. The purpose of our embedding is to increase the confidence in automatically generated proofs by separating untrusted proof search from trusted proof verification.Comment: In Proceedings PxTP 2015, arXiv:1507.0837

Mécanismes Orientés-Objets pour l'Interopérabilité entre Systèmes de Preuve

Dedukti is a Logical Framework resulting from the combination ofdependent typing and rewriting. It can be used to encode many logicalsystems using shallow embeddings preserving their notion of reduction.These translations of logical systems in a common format are anecessary first step for exchanging proofs between systems. Thisobjective of interoperability of proof systems is the main motivationof this thesis.To achieve it, we take inspiration from the world of programminglanguages and more specifically from object-oriented languages becausethey feature advanced mechanisms for encapsulation, modularity, anddefault definitions. For this reason we start by a shallowtranslation of an object calculus to Dedukti. The most interestingpoint in this translation is the treatment of subtyping.Unfortunately, it seems very hard to incorporate logic in this objectcalculus. To proceed, object-oriented mechanisms should be restrictedto static ones which seem enough for interoperability. Such acombination of static object-oriented mechanisms and logic is alreadypresent in the FoCaLiZe environment so we propose a shallow embeddingof FoCaLiZe in Dedukti. The main difficulties arise from theintegration of FoCaLiZe automatic theorem prover Zenon and from thetranslation of FoCaLiZe functional implementation language featuringtwo constructs which have no simple counterparts in Dedukti: localpattern matching and recursion.We then demonstrate how this embedding of FoCaLiZe to Dedukti can beused in practice for achieving interoperability of proof systemsthrough FoCaLiZe, Zenon, and Dedukti. In order to avoid strengtheningto much the theory in which the final proof is expressed, we useDedukti as a meta-language for eliminating unnecessary axioms.Dedukti est un cadre logique résultant de la combinaison du typagedépendant et de la réécriture. Il permet d'encoder de nombreuxsystèmes logiques au moyen de plongements superficiels qui préserventla notion de réduction.Ces traductions de systèmes logiques dans un format commun sont unepremière étape nécessaire à l'échange de preuves entre cessystèmes. Cet objectif d'interopérabilité des systèmes de preuve estla motivation principale de cette thèse.Pour y parvenir, nous nous inspirons du monde des langages deprogrammation et plus particulièrement des langages orientés-objetparce qu'ils mettent en œuvre des mécanismes avancés d'encapsulation,de modularité et de définitions par défaut. Pour cette raison, nouscommençons par une traduction superficielle d'un calcul orienté-objeten Dedukti. L'aspect le plus intéressant de cette traduction est letraitement du sous-typage.Malheureusement, ce calcul orienté-objet ne semble pas adapté àl'incorporation de traits logiques. Afin de continuer, nous devonsrestreindre les mécanismes orientés-objet à des mécanismes statiques,plus faciles à combiner avec la logique et apparemment suffisant pournotre objectif d'interopérabilité. Une telle combinaison de mécanismesorientés-objet et de logique est présente dans l'environnementFoCaLiZe donc nous proposons un encodage superficiel de FoCaLiZe dansDedukti. Les difficultés principales proviennent de l'intégration deZenon, le prouveur automatique de théorèmes sur lequel FoCaLiZerepose, et de la traduction du langage d'implantation fonctionnel deFoCaLiZe qui présente deux constructions qui n'ont pas decorrespondance simple en Dedukti : le filtrage de motif local et larécursivité.Nous démontrons finalement comment notre encodage de FoCaLiZe dansDedukti peut servir en pratique à l'interopérabilité entre dessystèmes de preuve à l'aide de FoCaLiZe, Zenon et Dedukti. Pour éviterde trop renforcer la théorie dans laquelle la preuve finale estobtenue, nous proposons d'utiliser Dedukti en tant que méta-langagepour éliminer des axiomes superflus

A Rewrite System for Proof Constructivization

International audienceProof constructivization is the problem of automatically extracting constructive proofs out of classical proofs. This process is required when classical theorem provers are integrated in intuitionistic proof assistants. We use the ability of rewrite systems to represent partial functions to implement heuristics for proof constructivization in Dedukti, a logical framework based on rewriting in which proofs are first-class objects which can be the subject of computation. We benchmark these heuristics on the proofs output by the automated theorem prover Zenon on the TPTP library of problems

Dedukti:un vérificateur de preuves universel

International audienceDedukti est un vérificateur de types pour le λΠ-calcul modulo, un formalisme alliant types dépendants et réécriture qui permet d’exprimer et de vérifier les preuves de nombreux systèmes logiques.Nous proposons d’utiliser Dedukti comme un vérificateur de preuves universel en traduisant HOL, Coq et FoCaLize vers Dedukti

ML Pattern-Matching, Recursion, and Rewriting: From FoCaLiZe to Dedukti

International audienceThe programming environment FoCaLiZe allows the user to specify, implement, and prove programs with the help of the theorem prover Zenon. In the actual version, those proofs are verified by Coq. In this paper we propose to extend the FoCaLiZe compiler by a backend to the Dedukti language in order to benefit from Zenon Modulo, an extension of Zenon for Deduction modulo. By doing so, FoCaLiZe can benefit from a technique for finding and verifying proofs more quickly. The paper focuses mainly on the process that overcomes the lack of local pattern-matching and recursive definitions in Dedukti

Objects and subtyping in the λΠ-calculus modulo

We present a shallow embedding of the Object Calculus of Abadi and Cardelli in the λΠ-calculus modulo, an extension of the λΠ-calculus in which conversion is considered modulo a rewrite system. This embedding may be used as an example of translation of subtyping, a feature also present in some proof assistants like Coq and PVS. This embedding is proved correct with respect to the operational semantics and the type system of the Object Calculus. It has been implemented as a translation tool from the Object Calculus to Dedukti, a type-checker for the λΠ-calculus modulo

Dedukti: a Logical Framework based on the λ\lambdaΠ\Pi-Calculus Modulo Theory

Dedukti is a Logical Framework based on the $\lambda$$\Pi$-Calculus Modulo Theory. We show that many theories can be expressed in Dedukti: constructive and classical predicate logic, Simple type theory, programming languages, Pure type systems, the Calculus of inductive constructions with universes, etc. and that permits to used it to check large libraries of proofs developed in other proof systems: Zenon, iProver, FoCaLiZe, HOL Light, and Matita

Mécanismes orientés objet pour l’interopérabilité entre systèmes de preuve

Dedukti is a Logical Framework resulting from the combination ofdependent typing and rewriting. It can be used to encode many logical systems using shallow embeddings preserving their notion of reduction. These translations of logical systems in a common format are a necessary first step for exchanging proofs between systems. This objective of interoperability of proof systems is the main motivation of this thesis.To achieve it, we take inspiration from the world of programming languages and more specifically from object-oriented languages because they feature advanced mechanisms for encapsulation, modularity, and default definitions. For this reason we start by a shallow translation of an object calculus to Dedukti. The most interesting point in this translation is the treatment of subtyping. Unfortunately, it seems very hard to incorporate logic in this object calculus. To proceed, object-oriented mechanisms should be restricted to static ones which seem enough for interoperability. Such a combination of static object-oriented mechanisms and logic is already present in the FoCaLiZe environment so we propose a shallow embedding of FoCaLiZe in Dedukti. The main difficulties arise from the integration of FoCaLiZe automatic theorem prover Zenon and from the translation of FoCaLiZe functional implementation language featuring two constructs which have no simple counterparts in Dedukti: local pattern matching and recursion. We then demonstrate how this embedding of FoCaLiZe to Dedukti can be used in practice for achieving interoperability of proof systems through FoCaLiZe, Zenon, and Dedukti. In order to avoid strengthening to much the theory in which the final proof is expressed, we use Dedukti as a meta-language for eliminating unnecessary axioms.Dedukti est un cadre logique résultant de la combinaison du typage dépendant et de la réécriture. Il permet d'encoder de nombreux systèmes logiques au moyen de plongements superficiels qui préservent la notion de réduction. Ces traductions de systèmes logiques dans un format commun sont une première étape nécessaire à l'échange de preuves entre ces systèmes. Cet objectif d'interopérabilité des systèmes de preuve est la motivation principale de cette thèse. Pour y parvenir, nous nous inspirons du monde des langages de programmation et plus particulièrement des langages orientés-objet parce qu'ils mettent en œuvre des mécanismes avancés d'encapsulation, de modularité et de définitions par défaut. Pour cette raison, nous commençons par une traduction superficielle d'un calcul orienté-objet en Dedukti. L'aspect le plus intéressant de cette traduction est le traitement du sous-typage. Malheureusement, ce calcul orienté-objet ne semble pas adapté à l'incorporation de traits logiques. Afin de continuer, nous devons restreindre les mécanismes orientés-objet à des mécanismes statiques, plus faciles à combiner avec la logique et apparemment suffisant pour notre objectif d'interopérabilité. Une telle combinaison de mécanismes orientés-objet et de logique est présente dans l'environnement FoCaLiZe donc nous proposons un encodage superficiel de FoCaLiZe dans Dedukti. Les difficultés principales proviennent de l'intégration de Zenon, le prouveur automatique de théorèmes sur lequel FoCaLiZe repose, et de la traduction du langage d'implantation fonctionnel de FoCaLiZe qui présente deux constructions qui n'ont pas de correspondance simple en Dedukti : le filtrage de motif local et la récursivité. Nous démontrons finalement comment notre encodage de FoCaLiZe dans Dedukti peut servir en pratique à l'interopérabilité entre des systèmes de preuve à l'aide de FoCaLiZe, Zenon et Dedukti. Pour éviter de trop renforcer la théorie dans laquelle la preuve finale est obtenue, nous proposons d'utiliser Dedukti en tant que méta-langage pour éliminer des axiomes superflus